Calcul matriciel
Déterminants

Rappels

1.1 Définition

Une matrice M(n,m) est un tableau de nombres réels ou complexes. Le tableau comporte n lignes et m colonnes. Le nombre situé à la jème position de la ième ligne est noté  ou parfois .  

Matrice carrée : une matrice pour laquelle le nombre de lignes est égal au nombre de colonnes.

Matrice diagonale : une matrice carrée n'ayant que des termes dans la diagonale principale :  

1.2 Opérations

1.2.1 Egalité de 2 matrices

Pour que 2 matrices A et B soient égales il faut qu'elles aient les même nombre de lignes et le même nombre de colonnes : A(n,m) et B(n,m) et que .

1.2.2.Multiplication par un nombre

Si  est un nombre réel ou complexe, A(m,n) une matrice  si  

1.2.3 Addition de 2 matrices

A et B étant 2 matrices ayant les mêmes dimensions n et m, C=A+B est une matrice de dimension n et m telle que .

 

1.2.4 Transposée d'une matrice

La matrice transposée de la matrice A(n,m) est la matrice B(m,n) telle que . En d'autres termes les lignes de la matrice A deviennent les colonnes de la matrice B et les colonnes de la matrice A deviennent les lignes de la matrice B.

Exemples :  

Remarque si . En effet  et si  

1.2.5 Conjuguée et transposée-conjuguée d'une matrice

La matrice B conjuguée de la matrice A (  ) est obtenue en prenant pour  le nombre complexe conjugué de .

B étant la matrice transposée de la matrice A, la matrice C transposée-conjuguée de la matrice A s'obtient en prenant La matrice conjuguée de la matrice B :  

1.2.6 Multiplication de 2 matrices

3 matrices A, B et C. Pour que la multiplication AxB il faut que le nombre de lignes de la matrice B soit égal au nombre de colonne de la matrice A : A(n,m) et B(m,p). La matrice C=AB a n lignes et p colonnes : le terme .

Exemple :

 

 

Le produit n'est pas commutatif. Il peut même être impossible de faire le produit commuté. Pour pouvoir commuter le produit (donc faire BxA)  il faut que le nombre de lignes de la matrice A soit égal au nombre de colonne de la matrice B : n=p. Le résultat BxA est alorqs une matrice de m lignes et n colonnes, c'est à dire une matrice carrée.

 

Cas particulier : A(1,n) et B(n,1), la matrice C=AB a 1 ligne et une colonne. C'est un nombre. On définit ainsi le produit scalaire de 2 vecteurs V1 et V2 en multipliant le transposé-conjugué du vecteur V1 par le vecteur V2 : . Si les 2 vecteurs sont à coefficients réels, le produit est commutatif, sinon  

 

Un système de n équations linéaires à n inconnues avec un second membre peut s'écrire ,  étant le vecteur des inconnues et  le vecteur second membre. N sait qu'un tel système n'a de solution déterminée que si le déterminant de la matrice M est différent de 0.

Si le second membre est nul, c'est à dire que toutes les composantes du vecteur  sont nulles, et que le déterminant de M n'est pas nul la seule solution est , c'est à dire un vecteur dont toutes les composantes sont nulles. Il n'y a de solution non nulle que si le déterminant de M est nul.

1.2.6.1 Démonstration

Pour écrire, par exemple, le système de m équations à n inconnues

           
il est possible d'utiliser la représentation matricielle

                                                                 
où  est une matrice de m lignes et n colonnes,  des matrices à m lignes et une colonne, c'est-à-dire des vecteurs.

Dans ce cas par définition

                                                                   

Il est nécessaire que la matrice  ait un nombre de colonnes égal au nombre de lignes des vecteurs .

Si on applique cette multiplication successivement à  et  : 

  : 

 

 ont le même nombre n de lignes,  a m lignes et n colonnes et  a p lignes.

                                                  

En remplaçant  par son expression , il vient

                                                        
ou encore                                                    

La somme  définit les composantes d'une matrice  telle que  et comme  :  

 

 

Quelques cas particuliers

1 Multiplication par une matrice diagonale D(n,n) de termes  

Multiplication à gauche par la matrice diagonale : B=DA. On peut vérifier que , les termes de la ligne i de la matrice B s'obtiennent en multipliant par le terme de la ligne i de la matrice D les termes de la lignes i de la matrice A.

Multiplication à gauche par la matrice diagonale : B=AD. Dans ce cas . Les termes de la colonne j de la matrice B s'obtiennent en multipliant par le terme de la ligne j de la matrice D les termes de la colonne, j de la matrice A.

2.Multiplication d'une matrice carrée par sa transposée.

Si A est une matrice carrée (n lignes et n colonnes) , la matrice B est symétrique.

 

Valeurs propres et vecteurs propres

2.1 Problème posé

Existe-t-il des vecteurs V tels que multipliés par la matrice A, le résultats soir un vecteur proportionnel à lui même :  

2.2 Solution

En appelant  la matrice unité, c'est à dire la matrice diagonale dont tous les termes sont égaux à 1, le système précédent peut s'écrire .

Si , on recherche donc des valeurs  et des vecteurs V tels que

. C'est un système de n équations à n inconnues avec un second membre nul. Un tel système n'a de solution non identiquement nulle que si le déterminant de la matrice M est nul. Dans ce cas le vecteur V n'est pas parfaitement défini, il dépend d'un ou de plusieurs paramètres.

Le calcul du déterminant de M donne un polynômes  de degrés n. Il a donc n racines réelles ou imaginaires, simples ou multiples.

Si toutes les racines sont simples, les n vecteurs correspondant à chacune des racines  sont linéairement indépendants.

Les valeurs  sont les valeurs propres de la matrice M et les vecteurs Vi les vecteurs propres

Exemple

La matrice  est la matrice , Sy étant l'observable suivant y des particules de spin=1.

Polynôme . Le développement donne :

 

Les 3 racines sont réelles et distinctes.

Le vecteur V1 correspondant à la valeur propre 1 s'obtient :

 

Le déterminant étant nul, les 3 lignes de la matrice sont linéairement dépendantes. En éliminant la dernière ligne :

. Pour que le vecteur soit normé
(  ) il faut .

Finalement  et de même  

2.3 Cas des matrices hermitiques

Une matrice, carrée, est dite "hermitique" si elle est égale à sa transposée-conjuguée.

2.3.1 Les valeurs propres sont réelles

Soit A une matrice hermitique, de valeur propre λ et dont le vecteur propre correspondant à cette valeur propre est V :  En multipliant les deux membres à gauche par le vecteur transposé-conjugué de V, il vient

, en prenant les transposées conjugués des 2 membres :

 

Comme A est une matrice hermitique  et par ailleurs , il reste :

 et donc . λ est un nombre égal à son complexe conjugué. C'est un nombre réel.

2.3.2 Les vecteurs propres sont orthogonaux.

Soient 2 vecteurs propres correspondant à 2 valeurs propres différentes :

. Si on multiplie les deux membres de la première relation à gauche par le transposé-conjugué du vecteur Vj  et la seconde relation par transposé-conjugué du vecteur Vi, il vient : , en prenant la transposée-conjuguée de la deuxième relation, sachant que  sont des valeurs réelles, cette deuxième relation devient . En soustrayant de la première relation :

. Ce qui exprime que le produit scalaire de 2 vecteurs propres correspondants à 2 valeurs propres différentes sont orthogonaux.

La matrice  étant hermitique, ses 3 valeurs propres sont réelles. Comme elles sont distinctes les 3 vecteurs propres sont 2 à 2 orthogonaux.

 

Diagonalisation d'une matrice

Le raisonnement portera, pour des raisons de simplification, sur matrice carrée d'ordre 3. Le raisonnement est facilement généralisable.

Soit une matrice carrée A, dont on connaît les valeurs propres et les vecteurs propres :

.

En appelant V la matrice dont les colonnes sont constituées par les vecteurs propres :

, la relation précédente peut s'écrire :

.

En multipliant à gauche les 2 membres de cette relation par la matrice inverse de V, il vient :

 en appelant D la matrice diagonale dont le terme de la ligne i est la valeur propre λi.

Si on multiplie au contraire à droite par V-1 les 2 membres de la relation :

 

 

On vérifie alors que . Ce qui se généralise  

La puissance nième d'une matrice diagonale est ob tenu en élevant à la puissance n chacun des termes de la diagonale de cette matrice.

 

4 Polynôme matriciel

Connaissant les puissances successives d'une matrice, un polynôme matriciel s'écrit :

 

Si la matrice est diagonalisable, ce polynôme s'écrit

 

 

5 Fonction d'une matrice

De même qu'on a défini un polynôme matriciel, il est possible de définir une fonction dont la variable est une matrice, le résultat étant une matrice.

Si la fonction f peut se développer en série , pour définir f(A), A étant une matrice carrée :

 

 

Cette expression se simplifie si la matrice est diagonalisable :

 

L'expression entre parenthèse se calcule facilement. La somme des matrices diagonale est une matrice diagonale. Le terme de la ième ligne est obtenu en ajoutant les termes de la ième ligne de chacune des matrices diagonales situées dans la parenthèse.

Cela donne pour le terme de la ligne i :

 

Et donc  

 

5.1 Exemple d'application

Si A est la matrice , et la fonction , le calcul donne :

 

Tous calculs effectués  

6
 Matrices qui commutent

Deux matrices carrées , de n lignes et n colonnes, commutent si .

Les valeurs propres de A sont , celles de B , i=1,2…n.

6.1 Vecteurs propres communs

On supposera que les vecteurs propres sont tous différents.

Soit  un vecteur propre de A correspondant à la valeur propre  :

, en multipliant les 2 membres par B : .Comme A et B commutent :

 ou en posant  : . Ce qui montre que  est le vecteur propre de  pour la valeur propre , les vecteurs propres n'étant définis qu'à un facteur multiplicatif près. Et donc . Ce qui montre que .

Vi est vecteur propre commun à A, pour la valeur propre  et à B pour la valeur propre .

Si 2 matrices commutent elles ont des vecteurs propres communs.

6.2 Réciproque

Les 2 matrices A et B ont leurs vecteurs propres communs.

En se reportant au paragraphe 3, les matrices A et B peuvent être diagonalisées :

 

 étant 2 matrices diagonales constituées respectivement des valeurs propres de A et de B.

En multipliant à gauche la première équation par la seconde :

 

 est encore une matrice diagonale D dont les termes sont  

 étant la matrice unité, il reste

 

 

En multipliant à droite la première équation par la seconde :

, les matrices  étant diagonales commutent  et

 ou encore  

Si 2 matrices ont des vecteurs propres communs, elles commutent.

 

7
 Déterminants

7.1 Définition

Un déterminant est un tableau de n lignes et n colonnes. Il se présente exactement comme une matrice carrée. Un le terme situé à l'intersection de la ligne i et de la colonne j est noté  ou .

7.2 Valeur du déterminant

Par exemple le déterminant , il a une valeur définie comme suit :

                                             

Exemple de l'un de ces termes :  

L'extension à un déterminant  ne présenta pas de mystère.

 signifie le nombre de permutations qu'il faudrait exécuter sur la suite des nombres  pour qu'ils deviennent la suite naturelle ,…,n. On peut également la calculer en additionnant pour chacun des termes  de l'arrangement le nombre de termes  de l'arrangement qui lui sont supérieurs.

 a la même définition que , mais sur les nombres .

 peut être un nombre pair et dans ce cas  ou un nombre impair et alors .

Propriétés :

7.2.1 Parités des permutations

Soit un arrangement  des nombres 1 à n.

La permutation de 2 termes successifs  change la parité. En effet seuls les nombres  et  ils deviennent . Si  était inférieur à , par exemple  ils deviennent . Les  sont inchangés. Seul  a augmenté d'une unité. Si au contraire  était supérieure à , par exemple  et   . Cette fois  a diminué d'une unité. Dans les 2 cas la parité a changé.

Permuter 2 termes de l'arrangement peut se faire par une suite de permutation de 2 termes successifs. Pour permuter les termes de , il faut réaliser  permutations successives. Au termes de ces permutations successives le terme  est en position  et le terme  en position . Pour l'amener en position , il faudra effectuer  permutions successives. Pour permuter ces 2 termes il a fallu effectuer  permutations successives, donc un nombre impaires de permutations successives  la parité a changé.

 

7.2.2 Choix des permutations

si on échange 2 des nombres de la suite la parité change. Comme conséquence dans le calcul du déterminant on peut supposer que les indices , ou les indices , ne présentent aucune permutation  : 

                     

Il existe  arrangements de  nombres. Pour un déterminant d'ordre 4  il y a  termes.

7.2.3 Permutation de 2 lignes (ou 2 colonnes)

Si 2 lignes sont permutées, par exemple la ligne 1 et la ligne 3 le terme  dans le déterminant, avant permutation des lignes 1 et 3, se retrouve dans le nouveau déterminant en  et le signe de sa permutation a changé, puisque 2 nombres ont été permutés dans la suite .

Conséquence  :  si un déterminant a 2 lignes, ou 2 colonnes, identiques il est nul.

7.3 Calcul du déterminant

7.3.1 Quelques propriétés simples :

·         Si une ligne, ou une colonne, est multipliée par un nombre , la valeur du déterminant est multipliée par ce même nombre .

·         Si à une ligne on ajoute une combinaison linéaire des autres lignes, la valeur du déterminant n'est pas changée.
Exemple  :  au terme  on ajoute ,  on obtient un terme  et  devient

 Le second membre peut s'écrire comme la somme de 3 déterminants, le premier étant le déterminant d'origine et les 2 autres des déterminants ayant 2 lignes identique, donc nuls.

·         Si dans un déterminant une ligne est une combinaison linéaire des autres lignes, ce déterminant est nul. Il en est de même en remplaçant "ligne" par "colonne".

·         Si dans un déterminant d'ordre  on supprime la ligne  et la colonne , on obtient un déterminant d'ordre    appelé "Déterminant mineur" de .

·         Le cofacteur  de  est  

·         La valeur d'un déterminant d'ordre 2  

7.3.2 Développement par rapport à une ligne

Le calcul du déterminant peut être réalisé en "développant par rapport à une ligne". On peut démontrer que le développement par rapport à la ligne  s'écrit :

                                                                    

Par exemple le développement par rapport à la deuxième ligne de  est

                   

7.3.3 Développement par rapport à une colonne

Le calcul de  en développant par rapport à la colonne  :

                                                                    

Exemple du développement par rapport à la troisième colonne de  :

                   

7.3.4 Exemple  : déterminant de Vandermonde

Il est défini par  : 

 

                                                   

C'est-à-dire .

Pour le calculer on soustrait de chaque colonne la colonne précédente multipliée par , en commençant par la dernière colonne et en finissant à la 2ème colonne. Ce qui donne : 

                              

 

En développant par rapport à la première ligne : 

                                 

 

Les termes de chaque ligne du nouveau déterminant ont le même facteur  et

                       

 

Par récurrence on peut écrire

                                                              

Ce résultat aurait également pu être obtenu en remarquant que le déterminant est un polynôme homogène des n variables  et qu'il s'annule si 2 des variables sont égales. Son degrès est , c'est-à-dire le nombre de façon de choisir 2 variabkes parmi n.7.4 Produit de 2 déterminants

7.4 Multiplication de 2 déterminants

7.4.1 - Règle

Il est évidemment nécessaire que les 2 déterminants soient du même ordre. La règle de multiplication de 2 déterminants est la même que la règle de multiplication de 2 matrices.

Les termes du premier déterminant  sont , ceux du deuxième déterminant  sont . Les termes du déterminant produit  sont .

Les termes de la ligne  de  sont multipliés terme à terme par les termes de la colonne j de  et additionnés.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7.4.2- Une démonstration

Soient  2 déterminants . Un troisième déterminant  tel que

                                                                   

Le déterminant  peut s'écrire sous la forme de n colonnes ,  étant la kième colonne  :  

Si on permute l'ordre des colonnes, suivant une permutation , on obtient un autre déterminant . La valeur de ce déterminant est  ou .

La valeur du déterminant  . Le produit  : 

                                             

Comme  

                                 

                                                      

Comme  le produit  est la valeur de la somme des déterminants

                                          

Sous la forme de déterminants : 

                                 

Pour obtenir le déterminant , il suffit de multiplier sa première colonne par , la deuxième par  …, la dernière par  

                      

Le produit

 

Si, dans un déterminant, une colonne est la somme de 2 colonnes, par exemple , le déterminant  peut s'écrire comme la somme de 2 déterminants

              

Pour le démontrer il suffit de développer le déterminant  par rapport à sa colonne j.

Généralisation Si chaque colonne  est la somme de  colonnes le déterminant  peut s'exprimer comme la somme de  déterminants.

Inversement, une somme de déterminants peut, parfois, s'écrire comme un seul déverminant.

Pour écrire , on constitue le déterminant dont les colonnes sont : 

                                  

 

Le terme  est le terme de la ligne i situé dans la colonne j :  ou sous une autre présentation

                                                            

 

7.5 Inverse d'une matrice

Pour avoir l'inverse d'une matrice carrée  de terme  

1.    Ecrire la matrice transposée , c'est-à-dire permuter les lignes et les colonnes

2.    Remplacer chaque terme de la matrice transposée par la valeur de son cofacteur

3.    Diviser chaque terme de la matrice ainsi obtenue par la valeur du déterminant de la matrice. La matrice  ainsi obtenue est l'inverse de la matrice  

Démonstration :

Si  est la valeur du déterminant de la matrice , le terme  de la matrice  est égal au cofacteur  du terme  divisé par  : . Comme  est la transposée de    et

                                                                        

Que vaut le terme  de la matrice  

                                                      

Sous le signe  on reconnait la somme des produits terme à terme des termes de la ligne  par les cofacteurs de la ligne  du déterminant de .

Si  cette somme est égale à la valeur  du déterminant et .

Si  cette somme est la valeur du déterminant dans lequel la ligne  a été remplacée par la ligne . Ce déterminant ayant 2 ligne identiques est nul et  si  

Dans la matrice  tous les termes de la diagonale principale , tous les autres termes sont nuls. C'est la matrice unité.

Exemple

Inverse de la matrice    

Remplacement des terme de la matrice  par leur cofacteur :  

Et  

7.6 Quelques applications au calcul tensoriel

Il existe en calcul tensoriel un tenseur symétrique  qui peut s'écrire sous forme d'une matrice symétrique . Le tenseur  peut également s'écrire sous forme d'une matrice inverse le la matrice .

Le produit tensoriel  est donc la somme des produits de la ligne  de la matrice  par les termes de la colonne  de sa matrice inverse. Cette somme est nulle sauf si  et dans ce cas la somme est égale à 1.

                                                   

Les  sont les symboles de Kronecker  : .

Un autre produit tensoriel s'écrit . On multiplie chacun des termes de la matrice  par le terme situé à la même ligne et à la même colonne de sa matrice inverse et on les additionne.

Cette somme peut s'écrire . La somme dans la parenthèse est égale à  et donc  

                          

7.7 Dérivée d'un déterminant

Si les termes  d'un déterminant sont les fonctions d'une variable  : . La valeur du déterminant est une fonction . Quelle est la valeur de ?

Dans le calcul du déterminant le terme , en supposant que le déterminant est développé par rapport à la ligne  ou à la colonne , est multiplié par le cofacteur . On ne le trouve donc que dans . En dérivant le développement de , le terme  ne se retrouvera que dans le produit ,  désignant la dérivée de  par rapport à .

La valeur de  est donc la somme de tous les produits .

On a vu que l'inverse  de , de terme  est obtenu en prenant le cofacteur  divisé par la valeur du déterminant : , soit  ou, en intervertissant les indices .

La valeur .

Appliqué au tenseur fondamental symétrique  du calcul tensoriel, dont l'inverse est noté , dépendant d'une, ou plusieurs variables cela s'écrira , ou sous une autre forme

                                                                   

 

Une application du calcul matriciel

1. Mise sous forme matricielle d'une expression polynomiale

1.1. Polynôme du second degrés

Un polynôme du second degrés de n variables  s'écrit

                                                                                      (1.1)

La matrice des coefficients  est symétrique. En effet le coefficient du terme  est, dans le développement de l'expression(1.1), . Il n'y a aucune raison de ne pas adopter .

En appelant  la matrice des coefficients  et  le vecteur des variables : , l'expression (1.1) peut s'écrire :

                                                                                                                        (1.2)

1.2. Polynôme du premier degrés

Un tel polynôme s'écrit

                                                                                                           (1.3)

En appelant , le vecteur , l'expression (1.3) devient

                                                                                                                                 (1.4)

2. Extremum d'une expression

La fonction polynômiale

                                  

admet un extremum pour les valeurs des variables qui annulent toutes les dérivées partielles

                                          

Dans l'expression (1.1) les termes contenant la variable  sont :

                    

et .

Cette expression est le produit de la ligne i de la matrice  par le vecteur .

Le vecteur des dérivées partielles :

                                                                                                                             (2.1)

La dérivée partielle  et donc

                                                                                                                                         (2.2)

Et finalement le vecteur des dérivées partielles de  s'obtient en additionnant les expressions (2.1) et (2.2). L'extremum de la fonction  est obtenu lorsque

                                                                                                                 (2.3)

C'est un système linéaire de n équations à n inconnues.

3. Application : calcul par éléments finis

3.1. Equation de la chaleur

L'équation de la chaleur est

                                                            

 est la conductivité thermique,  la masse spécifique et la chaleur spécifique du matériau étudié.

Pour simplifier les calculs, nous supposerons que le régime est stabilisé, c'est-à-dire , et que le calcul est restreint à, un espace à 2 dimensions et que la conductivité  est constante :

                                                                                                           (3.1)

A cette équation, il faut ajouter les conditions aux frontières de la forme

                                                                                                                   (3.2)

on peut montrer que résoudre les équations différentielles (3.1), avec les conditions aux limites (3.2) revient à rechercher l'extremum de l'expression :

                                               (3.3)

3.2. Solution approchée

Une solution approchée est obtenue en utilisant la méthode des éléments finis.

La façon la plus simple, mais pas la plus précise, consiste à découper la surface en triangles. Les inconnues sont les valeurs de la température aux sommets de ces triangles. L'intégrale de surface s'effectue dans chacun des triangles et l'intégrale sur le contour le long des côtés des triangles qui forment l'extérieur de la surface.

Dans un triangle la température est une fonction linéaire des coordonnées x et y.

L'intégrale double , si le triangle a les sommets numérotés  sera

              

Etendue à tous les triangles le résultat sera un polynôme du second degrés des inconnues , sous forme matricielle

                                                                                  (3.4)

Les 2 autres intégrales  s'exprimeront comme une fonction linéaire des inconnues, sous forme matricielle : 

                                                                (3.5)

Le problème se ramène à la résolution du système linéaire

                                                                                                                   (3.6)

Remarque

La solution peut être améliorée en découpant la surface avec

·         Des triangles à 6 degrés de liberté. Une inconnue est placée au milieu des côté. le triangle peut être curviligne. La fonction d'interpolation de  dans le triangle est un polynôme du second degrés en x, y.

·         Des quadrangles à 4 degrés de liberté :  

·         Des quadrangles à, 8 degrés de liberté, avec un point au milieu de chaque côté :  

Exemple d'un triangle à 3 degrés de liberté. On peut montrer que, en appelant  les coordonnées barycentriques du point M dans le triangle ( ,  étant la surface du triangle)  et que  

et dans le triangle  

4. Annexe démonstration des formules

Dans un surface (S), quel est l'extremum de l'intégrale

                                                                                           (4.1)

 sont des fonctions de ?

Si  est la solution cherchée, en la remplaçant par une fonction "voisine" , l'intégrale (4.1) devient

          

L'extremum de cette intégrale est donc atteint lorsque .

                                                                                          (4.2)

En écrivant  et , l'intégrale (4.2)devient

                      (4.3)

La première intégrale double peut se transformer en une intégrale curviligne le long du contour :

               

L'intégrale (4.3) devient :

                                                   (4.4)

4.1. Valeurs de u imposées sur la frontière

Sur la frontière (C) la fonction .

Dans ce cas sur la frontière la fonction  et la première intégrale du second membre de (4.4) est nulle. et

                                                                                      (4.5)

La fonction  étant arbitraire, pour que l'intégrale soit toujours nulle il faut

                                                                                                                           (4.6)

L'extremum de l'intégrale  est atteint si  

4.2. Autres conditions aux limites

On recherche l'extremum de l'intégrale :

                                           (4.7)

Dans le calcul de l'intégrale curviligne, on remplace, comme précédemment la solution  par la fonction , alors  et

                                                     

En ajoutant ce dernier terme à l'expression (4.4) et sachant que  et  

                            (4.8)

Cette somme étant nulle quelle que soit la fonction , la condition sur la frontière est 

                                                                                                           (4.9)

Le vecteur ,  étant les vecteurs unitaires portés par les axes orthonormés .

 est le vecteur unitaire tangent à la courbe. En faisant tourner ce vecteur tangent de , il devient le vecteur  unitaire normal à la courbe et de composantes

                                                                 

L'expression (4.9)  

En appelant , la dérivée de  dans la direction de la normale :

                                                                                                                           (4.10)

Dans le cas de l'équation de la chaleur : .