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Tenseur de Ricci
Loi de la gravitation (relativité générale)
1 Définition du tenseur de Ricci
Le tenseur de courbure peut être contracté en égalant 2 indices. Un
indice doit être pris parmi les 2 premiers et l'autre parmi les 2 derniers.
En effet une contraction entre les 2 premiers indices, par
exemple et
:
Avec , il y a
,
car
et par suite
.
Une contraction entre le 1er indice et le dernier indice ou une contraction entre le 1er indice et le 3ème indice donne des résultats opposés :
Le tenseur de Ricci est défini, ici, par la contraction du premier et du dernier indice :
(5.1.1)
Ce choix de contraction des 2 indices extrêmes n'est pas universel. On trouve souvent un tenseur de Ricci défini par la contraction du premier et du troisième indice. Ce qui change le signe du résultat et donc des signes également dans les équations qui utilisent le tenseur de Ricci. C'est le cas de la relativité générale.
2 Calcul du tenseur de Ricci
Partant de ,
en contractant sur
(5.2.1)
3 Propriétés du tenseur de Ricci
3.1 Symétrie
Nous avons vu que et le premier terme de (5.2.1) peut s'écrire
(5.3.1)
Le tenseur de Ricci peut également s'écrire
(5.3.2)
Ce qui montre que
(5.3.3)
Le tenseur de Ricci est un tenseur symétrique.
3.2 Divergence…
De la relation de Bianchi ,
en multipliant par
:
(5.3.4)
Sachant que les dérivées covariantes du tenseur sont nulles et que ce fait permet d'inclure le
multiplicateur
dans les parenthèses avant dérivation, en prenant
Premier terme :
|
Deuxième terme : |
|
|
|
Dernier terme: |
|
|
Le premier et le deuxième terme sont égaux, les indices étant muets
,
dans le dernier terme
est une contraction entre le 1er et
le 3ème indice, ce qui change le signe de la composante du tenseur
de Ricci et
.
|
L'expression (5.3.4) devient |
|
|
(5.3.5)
Le 2ème terme peut s'écrire
,
parce que
et finalement
(5.3.6)
En prenant le tenseur symétrique , tenseur dit tenseur d'Einstein.
En faisant monter l'indice en multipliant par
(5.3.7)
On trouve que la divergence du tenseur mixte
est nulle : Une propriété importante pour la relativité générale.
L'équation (5.3.6) peut encore être modifiée : en
multipliant par
et
.
(5.3.6) peut donc s'écrire
(5.3.8)
3.3 Nombre de composantes indépendantes
Dans un espace
à dimensions, le nombre de composantes
indépendantes est égal au nombre de combinaisons avec répétitions possibles
soit
.
Si ,
il n’y a qu’une seule composante indépendante
du tenseur de courbure, mais 3 composantes
indépendantes du tenseur de Ricci :
Le cas est particulier. Il y a le même nombre
de composantes indépendantes pour le tenseur
de courbure et pour le tenseur de Ricci.
Exercice : exprimer les composantes du tenseur de courbure en fonction des composantes du tenseur de Ricci.
4 
Le tenseur 2 fois covariant se contracte :
(5.4.1)
Ce scalaire est déjà apparu lors du calcul de la divergence (5.3.6).
Dans un espace à 2 dimensions, avec le choix du signe fait sur la courbure,
, où sont les rayons de courbure principaux au
point considéré, lorsque cet espace à 2 dimension est pris immergé dans un
espace à 3 dimensions.
5
5.1 En l’absence de matière
En l’absence de matière les équations de la relativité générale sont :
(5.5.1)
Cette formulation, apparemment très simple, est quand même constituée de 10 équations aux dérivées partielles.
Elle permet toutefois de retrouver, comme approximation, lorsque le courbure est faible et indépendante du temps, la loi de Newton.
Elle explique également
· La précession du périhélie de Mercure,
· La déviation de la lumière au passage près d’un corps massif, comme le soleil.
Ces 2 exemples ont constitué les premières applications de la relativité générale et justifié cette théorie.
Une autre forme de ces équations
(5.5.2)
En l'absence de matière entraine que
et si les équations (5.5.1)sont vérifiées alors les
équations (5.5.2)le sont également.
EINSTEIN écrivant l'équation de la relativité générale en l'absence d'énergie
5.2 En présence de matière
Comme il n'y a pas de différence entre la matière et l'énergie, il faut comprendre en présence d'énergie.
En se reportant à l'équation (5.3.8) : ,
le second membre de l'équation doit être un tenseur
symétrique et de divergence
.
Un tenseur répond à ces conditions. C'est le tenseur énergie-impulsion :
(5.5.3)
Où :
Pour prendre en compte le tenseur énergie-impulsion
l'équation (5.5.2) doit être modifiée en .
Pour retrouver la loi de Newton le coefficient constant
(5.5.4)
est la constante d'attraction universelle et
est la vitesse de la lumière.
Exemple : dans un univers où la pression est nulle, où il
n'y a que de la matière, dans un référentiel où la vitesse (spatiale) des
particules est nulle. Dans ce cas seule la vitesse ,
la densité d'énergie est égale =
,
étant la masse spécifique de la matière.
n'a qu'une composante non nulle : réduit à
.
5.3
Einstein a introduit dans ses équations une "constante
cosmologique" .
Cette constante était destinée à rendre l'univers stable. C'est ce que tous les
scientifiques pensaient à l'époque.
Cette constante peut être écrite au premier ou au second membre :
(5.5.5)
Cette constante, qu'Einstein appelait "la plus grande erreur de ma vie" a été longtemps abandonnée. Elle réapparait aujourd'hui comme une possibilité d'explication à l'accélération qui serait constatée dans la vitesse d'expansion de l'univers.
Nous la négligerons, en générale, dans la suite des calculs.
6 - Intégrale d’action appliquée à la relativité générale
L’utilisation de l’intégrale d’action pour retrouver les équations de la relativité générale a été suggérée par Hilbert en 1915.
6.1 Rappels
Rappelons un certains nombre de propriétés des tenseurs :
(5.6.1)
(5.6.2)
(5.6.3)
En contractant par :
(5.6.4)
6.2 Intégrale d’action
Le scalaire
(5.6.5)
est calculé dans un certain volume à 4 dimensions. Les
inconnues sont les fonctions définissant le tenseur fondamental.
En donnant aux des "petites" variations
,
il faudra trouver l'extremum de l'intégrale.
Dans il y a 2 termes faisant intervenir des
dérivées du second ordre des
et 2 termes où n’apparaissent que les dérivées
du 1er ordre des
:
avec
(5.6.6)
(5.6.7)
Transformation de
(5.6.8)
Les 2 termes et
qui sont des dérivées ne donneront aucune
variation à l'intégrale, les valeurs des
étant fixées sur la frontière d'intégration.
En effet si on intègre, par exemple,
,
l'intégrale de volume devient une intégrale de surface. Sur la surface les
valeurs des
sont données te l'intégrale
est constantes, donc ne donnera aucune
variation à l'intégrale d'action. Il suffit donc de ne conserver que les 2
autres termes dans
(5.6.9)
Les relations (5.6.3) et (5.6.4) permettent de transformer cette formule :
(5.6.10)
Les 2
termes ayant le signe + et
sont égaux :
En faisant varier les noms des indices muets du second terme, on le ramène au premier :
Soit :
(5.6.11)
.
Les 2 termes de (5.6.10) ayant un signe négatifs et
sont égaux. Ici aussi tous les indices sont
muets, il est donc possible de changer leurs noms sans changer le résultat et
les rendre égaux au 2ème terme de
,
:
Le même calcul peut être fait avec le terme
(5.6.12)
Pour calculer la variation de l'intégrale (5.6.5) il suffit de calculer la variation de l'intégrale
(5.6.13)
Dans cette intégrale les dérivées secondes des ont disparu.
6.3 Variation de l'intégrale d'action
L'intégrale d'action s'écrit
et avec
et
Pour transformer ces 2 valeurs nous allons utiliser les propriétés
Transformation de
étant des indices muets ils sont remplacés
respectivement par
En écrivant que
devient
avec ou
:
En utilisant la propriété (5.6.4) ,
s'écrit finalement en remplaçant
par
:
(5.6.14)
Transformation de
Dans et
,
tous les indices sont muets. Dans le dernier terme de
,
on peut remplacer
par
,
par
,
par
et
par
.Ce
qui montre que le 3ème terme est égal au second terme :
En remplaçant par
devient
En partant de l'expression (5.6.2) et en l'écrivant
Et en l'adaptant en remplaçant les indices : ,
,
et
par
:
|
|
|
|
Alors dans tous les indices étant muets peuvent être
changés :
Et donc
|
|
|
|
devient
(5.6.15)
Valeur de
En soustrayant (5.6.15) de (5.6.14) :
En regroupant les termes :
Dans les indices
sont muets et peuvent être remplacés par
,
les termes dans le crochet s'écrivent alors
(5.6.16)
Les 2 premiers termes de (5.6.16) peuvent s'écrire :
Les termes et
qui sont des dérivées ne donneront aucune
variation dans la variation de
,
ils peuvent être négligés dans le calcul de l'intégrale. Il reste
Dans le second terme étant muets peuvent être remplacés par
:
(5.6.17)
En rappelant que
Ou en changeant des indices muets
Et
(5.6.18)
Les variations de étant arbitraires, il en est de même de
.
Pour que
pour les "petites" variations des
il faut
(5.6.19)
C'est la première forme des équations d'Einstein en l'absence de matière.
6.3 Autre forme de l'intégrale d'action
De ou encore
,
on tire
.
Sachant que la dérivée du déterminant par rapport à la variable
est
,
ou sous une autre forme
et que
,
on obtient en divisant par 2 :
et enfin
De on déduit
.
Par suite :
Soit
En reportant dans (5.6.18):
La condition de nullité de devient
|
|
|
En contractant les indices :
(5.6.20)
Les indices peuvent être "descendus" en
multipliant par
,
ce qui donne une autre forme de l'équation d'Einstein en l'absence de matière :
(5.6.21)
On a vu que la divergence du tenseur mixte
était nulle.
Annexe
Tenseur de courbure dans un espace à 3 dimensions
Le tenseur
de courbure qui a 6 composantes indépendantes peut
s'exprimer en fonction du tenseur de Ricci
qui a également 6 composantes indépendantes.
On cherche une solution de la forme
(5.7.1)
En permutant
:
En permutant
de plus :
En calculant
:
et donc
(5.7.2)
En
contractant : et
(5.7.3)
En reportant
dans (5.7.1) : .
(5.7.4)
On peut montrer que si l'espace est complètement symétrique
où
est une constante.
Résumé
Tenseur de Ricci
C'est un
tenseur symétrique
Le tenseur de Ricci dans un espace à n dimensions a composantes indépendantes
Courbure scalaire
dans un espace à 2 dimensions
Divergence
Tenseur d'Einstein :
La divergence de est nulle :
Equations de la relativité générale
En l'absence de matière
ou
Ces formules peuvent être retrouvées par le calcul de
l'intégrale d'action
En présence d'énergie
étant le tenseur d'impulsion-énergie.
8
La composante .
Comme le tenseur
est diagonal
avec
.
8.1 i différent de j
A partir de la formule ,
|
|
|
(8.1) |
On peut remarquer que chacun des termes de la somme est
dérivé par aux variables .
Si les
ne dépendent pas de ces variables
.
Par exemple la métrique de Schwarzschild : ,
où
sont des fonctions de
,
les fonctions
,
et les variables
.
Seul le terme
peut être différent de zéro :
Comme ,
toutes les dérivées de
sont nulles et donc
.
La matrice est diagonale.
8.2 i égale j
.
En partant de
(8.2)
9
Le calcul se fait à partir de la formule donnant le tenseur de Ricci :
Sachant que ,
le tenseur de Ricci peut s'écrire :
(9.1)
Le tenseur de Ricci s'écrira pour ces calculs intermédiaires
avec
.
9.1 
Dans ,
ne peut être égal qu'à
et en remplaçant
par leur valeur :
(9.2)
Et
(9.3)
,
dans
ne peut être égal qu'à
.
Dans
ne peut être égal qu'à
:
.
Dans ,
,
dans
,
,
donc dans le produit
,
ne peut prendre que la valeur
et
devient
.
De même dans
et dans
,
ne peut prendre que les valeurs
:
(9.4)
Pour le calcul de ,
ne peut prendre que les valeurs
:
Pour se rapprocher de (9.3) sera écrit
Sachant que ,
devient
(9.5)
Et
(9.6)
En remplaçant les symboles de Christoffel par leurs valeurs
et en remarquant que
(9.7)
Finalement
(9.8)
9.2 μ=ν
En reprenant (9.1)
(9.9)
ou encore avec
Calcul de S1
Dans ,
peut être égal à
ou différent de
:
(9.10)
Et
(9.11)
Calcul de S3
,
comme pour S1,
:
Dans le premier terme ,
dans le deuxième terme
:
Dans la première parenthèse est un indice muet, il peut être remplacé par
:
(9.12)
Calcul de S4
Dans ,
:
Le premier terme peut s'écrire
(9.13)
Avec
En remplaçant les symboles de Christoffel par leurs valeurs :
(9.14)
Et avec
(9.15)
10
La métrique est
Les calculs sont effectués à partir des éléments suivant :
.
On utilisera la formule (9.15)
10.1
Les dérivées par rapport à x sont nulles. Dans (9.15) ne subsiste que
est uniquement fonction de
:
,
et le premier terme dans le
crochet :
(10.1)
Pour le deuxième terme
(10.2)
Finalement
(10.3)
10.2
Premier crochet : ,
et
(10.4)
Deuxième crochet : la somme peut se décomposer en
Comme n'est fonction que de
,
les dérivées
sont nulles si
et tous les termes du premier crochet sont
nuls. Il reste
(10.5)
En additionnant (10.4) et (10.5) :
(10.6)
10.3
et
.
ne dépend que de
et
et
(10.7)
Comme ne dépend que de
,
le deuxième crochet s'écrit :
et
.
.
Le premier crochet de :
Dans la somme ,
seul
dépend de
et
.
(10.8)
En additionnant (10.7) et (10.8)
(10.9)
10.4
.
Toutes les dérives des
par rapport à
sont nulles.
Seules les dérivées de et de
par rapporta à
sont différentes de zéro :
(10.10)