Calcul tensoriel-Résumé
1. Quelques
conventions
1.1. Avertissement
Par abus de langage on dira parfois est un vecteur contravariant au lieu de dire
que ce sont les composantes contravariantes d'un vecteur.
De même on dira parfois est un tenseur, au lieu de dire que ce sont
les composantes d'un tenseur.
1.2. Conventions d'Einstein
Dans un produit, lorsque 2 indices sont répétés, cela signifie une addition en faisant varier cet indice :
(1.1)
Cet indice est dit muet et peut être changé.
1.3. Dérivées
L'indication de dérivée par rapport à la variable de la fonction
sera notée de 3 façons différentes :
(1.2)
Dans un changement de base, si les nouvelles variables
sont la dérivée
sera notée
(1.3)
1.4. Produit matriciel
Si ,
,
le terme
.
Pour une matrice symétrique de termes ,
son inverse est symétrique et ses termes seront notés
2. Vecteurs
2.1. Base naturelle, composantes contravariantes
Sur une base, dite naturelle, un vecteur
est repéré par ses composantes contravariantes
:
(2.1)
(Se rappeler les conventions d'Einstein sur la sommation).
Le produit scalaire
(2.2)
Les sont les termes d'une matrice symétrique. Les
termes de la matrice inverse sont notés
Dans un changement de base, ou de coordonnées :
(2.3)
2.2. Base duale, composantes covariantes
Les vecteurs de la base duale sont les vecteurs
(2.4)
Le produit scalaire .
Les composantes covariantes du vecteur sont :
(2.5)
Dans le changement de base défini précédemment :
(2.6)
2.3. Produit scalaire
2.3.1. De 2 vecteurs
Deux vecteurs
(2.7)
2.3.2. Elément de longueur
Les accroissements sont les composantes d'un vecteur :
(2.8)
3. Tenseurs
3.1. Espace des tenseurs
Les tenseurs sont des vecteurs d'un espace vectoriel produit de plusieurs espaces vectoriels. Par la suite, nous ne considèreront que le produit d'un même espace vectoriel par lui-même.
S'il y a le produit de 3 espaces vectoriels, les vecteurs
de base de ce nouvel espace vectoriel sont les produits des vecteurs de base
des espaces vectoriels initiaux, par exemple .
la composante sur ce vecteur sera notée
.
3.2. Composantes covariantes, contravariantes et mixtes
La notation est liée aux vecteurs de base des espaces vectoriels intiaux.
est une composante 2 fois covariante.
est une composante 2 fois contravariante.
est une composante 2 fois covariante et une
fois contravariante.
3.3. Symétrie, antisymétrie
Un tenseur est symétrique par rapport à 2 indices, si
l'échange de ces 2 indices ne change pas la valeur des composantes, par exemple
si ,
le tenseur est symétrique par rapport au 1er et au dernier indice.
Un tenseur est antisymétrique par rapport à 2 indices, si
l'échange de ces 2 indices change le signe de la valeur des composantes, par
exemple si ,
le tenseur est antisymétrique par rapport au 1er et au dernier
indice.
3.4. Abaissement ou élévation des indices
Comme pour les composantes des vecteurs, la position des indices peut être modifiée :
(3.1)
3.5. Changement de base
En utilisant encore le changement de base défini précédemment :
(3.2)
Cette formule se généralise sans difficulté à des composantes p fois covariantes et q fois contravariantes.
3.6. Produit tensoriel
3.6.1. Augmentation du nombre d'indices
Soient 2 tenseurs de composantes
et
le produit
Les composantes du nouveau tenseur sont 4 fois covariantes et 2 fois contravariantes.
3.6.2. Produit contracté
Les 2 composantes des tenseurs initiaux ont des indices
communs : et
.
dans la somme
,
l'indice commun disparait.
(3.3)
3.7. Critères de tensorialité
Un être mathématique à 1 ou plusieurs indices, par exemple .
Est-ce que ce sont les composantes d'un tenseur.
3.7.1. Changement de base
Si les composantes, après un changement de base,
c'est-à-dire en remplaçant dans l'expression de les anciennes variables
par leurs expression en fonction des nouvelles
variables
répondent au critère donné par (3.2) alors
sont les composantes d'un tenseur.
(3.4)
3.7.2. Contraction (ou théorème du quotient)
sont les composantes contravariantes d'un
vecteur, le produit contracté
est un tenseur
est un tenseur
(3.5)
3.8. Tenseur métrique
Le tenseur métrique dans la nouvelle base
(3.6)
3.9. Non
Les opérations d'élévation ou d'abaissement des indices,
suivant l'équation (3.1) s'appliquent également si
les ne sont pas des tenseurs.
Il en est de même pour les opérations de contraction comme indiqué par l'équation (3.1).
4. Symbole
de Christoffel
4.1. De première espèce
(4.1)
Les symboles de Christoffel de 1ère espèce sont symétriques par rapport aux 2 derniers indices.
4.2. De seconde espèce
On fait monter le premier indice
(4.2)
Les symboles de Christoffel de 2ème espèce sont symétriques par rapport aux 2 indices inférieurs
5. Déplacement parallèle d'un vecteur
Un vecteur au point
est déplacé parallèlement à lui-même au point
de coordonnées
.
Ses nouvelles composantes sont :
5.1. Composantes covariantes
(5.1)
5.2. Composantes contravariantes
(5.2)
6. Géodésiques
6.1. Accélération
Un point de coordonnées se déplace. Les composantes de sa vitesse sont
,
si le déplacement au point M se fait parallèlement au vecteur vitesse en ce
point, l'accélération est
.
Si l'accélération est nulle, sachant que
:
(6.1)
Dans un espace euclidien en coordonnées linéaires, les sont constantes et donc tous les coefficients
de Christoffel sont nuls et il reste
.
La courbe est une droite. Sur une sphère, dans un espace à 2 dimensions, les
courbes sont des arcs de grands cercles.
Ces courbes sont les géodésiques de l'espace considéré.
6.2. Plus court chemin.
Les géodésiques peuvent également se trouver comme le plus
court chemin d'un point A à un point B : c'est l'extremum de l'intégrale en posant
.
7. Dérivée covariante
La dérivée n'est pas un tenseur.
La dérivée covariante est un tenseur.
7.1. Composantes covariantes d'un vecteur
La dérivée covariante est écrite, suivant les auteurs, .
(7.1)
7.2. Composantes contravariantes d'un vecteur
(7.2)
7.3. Composantes d'un tenseur
7.3.1. 2 fois covariantes
(7.3)
7.3.2. 2 fois contravariantes
(7.4)
7.3.3. Généralisation
(7.5)
7.4. Théorème de Ricci
Les dérivées covariantes du tenseur métrique, ou tenseur fondamental, sont nulles :
(7.6)
Conséquence : dans les dérivations covariantes, les
composantes se comportent comme des constantes, on peut
les faire entrer ou sortir de l'élément dérivé, par exemple :
7.5. Gradient, rotationnel, divergence, laplacien
7.5.1. Gradient
Le gradient d'un champ scalaire est un champ de vecteurs :
(7.7)
7.5.2. Rotationnel
Le rotationnel d'un champ vectoriel est un tenseur 2 fois covariant :
(7.8)
7.5.3. Divergence
7.5.3.1. D'un champ vectoriel
si est le module du déterminant des
(7.9)
7.5.3.2. D'un tenseur
Pour un tenseur 2 fois contravariant, on peut définir 2 divergences différentes en général:
·
Divergence à droite
·
Divergence à gauche
7.5.4. Laplacien
(7.10)
8. Tenseur de courbure
8.1. Définition
2 dérivées covariantes successives, par rapport à 2
variables différentes, ne sont pas commutatives : ,
(8.1)
sont les composantes du tenseur de courbure. L'indice
peut être abaissé en multipliant les 2 membres
par
(8.2)
8.2. Propriétés
Antisymétrie par rapport aux 2 premiers indices et par rapport aux 2 derniers.
(8.3)
8.3. Relation de Bianchi
(8.4)
8.4. Extension aux tenseurs
(8.5)
8.5. Tenseur métrique diagonal
Seuls les termes ayant 2 indices égaux sont différents de zéro.
Les comosantes du tenseur de courbure ayant 4 indices différents les uns des
autres sont nuls. On pose
8.5.1. Trois indices différents
(8.6)
8.5.2. Deux indices différents
(8.7)
9. Tenseur de Ricci
9.1. Définition
Le tenseur de Ricci s'obtient par la contraction du premier et du dernier indice du tenseur de courbure.
(9.1)
9.2. Propriété
(9.2)
Le tenseur de Ricci dans un espace de dimension a
composantes indépendantes
9.3. Courbure scalaire
Par contraction des 2 indices du tenseur de Ricci, c'est un scalaire indépendant des coordonnées:
(9.3)
9.4. Divergence
(9.4)
9.5. Calcul lorsque le tenseur métrique est diagonal
9.5.1. Deux indices différents
(9.5)
ou encore
(9.6)
9.5.2. Deux indices égaux
(9.7)
ou encore
(9.8)
10. Relativité générale
Ce sont les équations d'Einstein régissant la gravitation (1915)
10.1. En l'absence de matière, ou d'énergie
Sous 2 formes équivalentes :
(10.1)
10.2. En présence de matière
Il faut au second membre un tenseur, du second ordre, 2 fois covariant et symétrique. Le tenseur Energie-Impulsion
avec ,
densité d'énergie dans un référentiel au
repos,
les composantes de la quadri-vitesse du fluide
(10.2)
Le coefficient a été ajusté pour retrouver, en première approximation, la loi d'attraction newtonienne.
10.3. Constante cosmologique
Einstein a ajouté, au premier ou au second membre, une constante, dite constante cosmologique, de façon à rendre l'univers stable.
(10.3)
La divergence de doit être nulle et donc
.
C'est donc bien une constante indépendante du temps et des coordonnées
spatiales.