8
Périhélie de Mercure 
1
1.1 Mises en équations
L'équation du mouvement d'une particule est l'équation d'Euler-Lagrange
(8.1.1)
où
Les équations différentielles correspondantes à ce Laplacien sont :
(8.1.2)
Si on multiplie le Lagrangien par une constante les équations ne changent
pas. On prendra donc comme Laplacien
.
soit :
(8.1.3)
Variable t
L est indépendant de t donc
(8.1.4)
(8.1.5)
Variable
L est indépendant de
(8.1.6)
Variable θ
et
(8.1.7)
Variable r
Si on se reporte à ,
on voit que
.
De plus, par un choix convenable de l'origine des
coordonnées ,
la trajectoire sera situé dans le "plan"
.
L'équation (8.1.6) devient
(8.1.8)
C'est l'équivalent de loi des aires de Kepler.
En reportant (8.1.5) et (8.1.8) dans L :
soit : .
Si ou
,
l'expression ci-dessus devient
(8.1.9)
Le calcul de l'orbite se simplifie en posant ,
.
L'équation (8.1.9) devient
(8.1.10)
En dérivant (8.1.10) par rapport à :
,
soit ne mettant
en facteur :
(8.1.11)
La première solution ,
soit
,
la géodésique est un cercle, centré à l'origine.
Les géodésiques circulaires stables ont un
"rayon" (voir le complément "Stabilité des orbites circulaires")
La deuxième solution
(8.1.12)
1.2 Interprétation des constantes
Le Lagrangien d'une
particule de masse est
La valeur
canoniquement conjuguée de la vitesse est
l'impulsion
Les 4 valeurs de sont les
composantes du quadrivecteur Energie-Impulsion.
Dans la métrique de Schwarzschild, avec
La composante énergie
(8.1.13)
La constante
La composante et la
constante
1.3 Interprétation des équations
Dans la mécanique de Newton, la vitesse de la planète, en prenant le centre du soleil comme origine des coordonnées, est
Le champ de gravitation est .
Le lagrangien est
Les équations du mouvement sont
(8.1.14)
La deuxième équation est la loi des aires.
En posant :
La première équation de (8.1.14) devient .
se transforme en :
et
.
En remplaçant dans la première équation de (8.1.14) .
(8.1.15)
Si alors
et l'équation (8.1.15) devient
(8.1.16)
La valeur est à comparer au premier terme du second
membre de (8.1.12)
Comparaison entre B et C
Dans (8.1.8) ,
avec
Lorsque les vitesses sont lentes, c'est à dire alors
et
ou
(8.1.17)
et
Le terme du second membre de (8.1.12) donne l'approximation
newtonienne de la gravitation.
Cela justifie également le choix fait pour la valeur de dans l'expression
.
Dans la mécanique newtonienne, il est possible de calculer C.
Si l'orbite est une ellipse de grand axe a, de
petit axe b et d'excentricité et la période de
révolution (année) T la surface de l'ellipse
est également
.
.
(8.1.18)
1.4 Périhélie
1.4.1 Equation à intégrer
Il faut intégrer l'équation (8.1.12) .
Quelles sont les valeurs de et de
?
Pour la Terre .
Si l'orbite est assimilée à un cercle
.
la vitesse périphérique
est environ
,
(8.1.19)
Le second terme est très petit devant le premier.
Pour résoudre (8.1.12) ,
on utilisera la méthode dite "méthode des perturbation".
1.3.2 Méthode d'intégration
Pour simplifier la présentation on pose
(8.1.20)
.
L'équation à intégrer devient
(8.1.21)
On suppose que la solution u est développée suivant les
puissances croissantes de h : ,
tendant vers 0 lorsque h tend vers 0.En
reportant dans (8.1.21) :
Ou encore
(8.1.22)
Dont on cherche les solutions par
(8.1.23)
(8.1.24)
L'équation (8.1.23) a pour solution .
C'est la solution classique de la mécanique de Newton, une conique dont le
foyer est à l'origine, c'est à dire le centre du soleil. Par un choix
convenable de l'origine des angles
on peut écrire cette solution
(8.1.25)
L'équation (8.1.24) devient
Sachant que
(8.1.26)
La solution de l'équation sans second membre est inutile car c'est la même que celle de(8.1.23). Seules les solutions particulières sont utiles :
(8.1.27)
Pour ,
comme
est solution de l'équation sans second membre,
il faut chercher une solution de la forme
(8.1.28)
C'est ce terme qui va expliquer la précession du périhélie de Mercure.
Pour la solution est de la forme
(8.1.29)
Finalement
(8.1.30)
Et pour :
(8.1.31)
Le dernier terme, entre les crochets, introduit une petite variation périodique dans la distance de la planète au centre du soleil.
Le second terme, étant une "petite valeur" peut
s'écrire
,
c'est à dire que on peut écrire
en négligeant le terme .
1.4.3 Résultat
Le périhélie se présente lorsque la planète est le plus près
du soleil, c'est à dire lorsque est maximum, c'est à dire
,
,
pour 2 périhélies successifs
.
Tout se passe comme si le grand axe de l'ellipse tournait autour du soleil.
Pour une période l'angle dont a tourné le grand axe est égal à
.
D'après (8.1.20)
(8.1.32)
d'après (8.1.18)
(8.1.33)
Avec la formule (8.1.33) et ,,
le nombre d'années sidérales en 1 siècle :
,
la mesure donne
La troisième loi de Kepler s'écrit, en mécanique newtonienne
,
ou
.
En reportant cette valeur dans (8.1.33), il vient
(8.1.34)
C'est l'expression qui avait été donnée par Einstein.
Si on assimile l'ellipse à un cercle de rayon r, la vitesse
périphérique le la planète étant v,
(8.1.35)
En utilisant
(8.1.36)
Application pour la planète Mercure :
La vitesse orbitale ,
le nombre d'années sidérales en 1 siècle :
.
Si
est exprimé en seconde d'arc, en un siècle la
rotation de l'axe de Mercure est
Ce calcul donne
1.4.4 Remarque
La formule (8.1.33) peut s'écrire . Les valeurs de la première parenthèse est
une caractéristique du système solaire. Pour avoir la valeur au bout de 100 ans
terrestre de ce décalage du périhélie il faut multiplier ce
par le nombre de révolutions sidérales de la
planète considérée c'est à dire , ce qui donne un
séculaire proportionnel à
.
Comme
est constant, 3ème loi de Kepler,
est inversement proportionnel à
,
ou, à quelques pour cents près à
.
Le demi grand axe de la Terre
.
cela donne pour la Terre
.
Les mesures donnent
.
2 Déflexion de la lumière
Pour un rayon lumineux .
Il n'est plus possible de dériver par rapport à s. (8.1.3) devient, en supposant
(8.2.1)
Les dérivées sont exprimées par rapport à une variable λ.
reste valable ainsi que
.
En reportant dans (8.2.1) il vient
,
ou
(8.2.2)
Si est la dérivée de r
,
en reportant dans (8.2.2) :
(8.2.3)
Si
et (8.2.3) devient
(8.2.4)
Et en dérivant par rapport à :
(8.2.5)
Il y a une solution ,
c'est à dire
.
Cette solution n'est valable que
.
Dans ce cas le rayon lumineux décrit un cercle.
L'autre solution est obtenue par
(8.2.6)
Le terme est petit. Pour le soleil, si on considère un
rayon lumineux passant à proximité de sa surface,
et devant
.
Pour résoudre on pose
avec
:
,
avec
En identifiant ,
c'est l'équation d'une droite. En choisissant l'origine des angles
on prendra
(8.2.7)
La seconde équation .
En l'écrivant sous la forme
avec
.
La solution de est de la forme
:
(8.2.8)
La solution complète est
(8.2.9)
Comme ,
(8.2.10)
Les points à l'infini sont obtenus lorsque .
,
seule la racine correspondant au signe moins convient (
)
.
étant "petit"
et
(8.2.11)
Il y a 2 angles
Pour le soleil
Angle
,
et donc
,
l'angle
étant très petit
(8.2.12)
Angle
,
,
sans refaire de calculs
(8.2.13)
Déflexion totale
Le rayon vient de l'infini de la direction à l'infini et repart à l'infini dans la direction
.
la déflexion totale est donc
(8.2.14)
Pour un rayon lumineux passant à proximité du soleil la
déflexion est donc
(8.2.15)
Comparaison avec la mécanique newtonienne
La lumière étant assimilée à une particule, sa
trajectoire obéit à l'équation (8.1.16)
.
Pour
.
La vitesse est
avec
et
.
Comme
.
Si pour
.
la trajectoire est
Les points à l'infini sont obtenus pour soit
étant "petit"
En refaisant les mêmes calculs que pour la déflexion en relativité générale, on trouvera évidemment
(8.2.16)
C'est la moitié de la valeur donnée par la relativité générale.
3 Remarques
3.1 Newton
L'équation (8.1.15) donne
si
l'attraction newtonienne classique.
.
La relativité générale conduit à l'équation (8.1.12)
en remplaçant
par sa valeur
D'après (8.1.17)
Ce qui donnerait
Ce qui revient à ajouter au terme classique d'attraction en un terme correctif en
.
Cette solution n'est pas rigoureuse car le terme est obtenu à partir le la loi de Newton sans
terme correctif.
3.2 Valeur de π
L'élément de longueur de Schwarzschild est .
Si pour on calcul la longueur du cercle de rayon
:
Pour le rayon :
et
Si sur un rayon, par exemple on calcule la distance entre les points de
coordonnées radiales
:
3.3 Le temps
Pour un objet immobile le temps est ,
.
Par rapport au temps à l'infini le temps local est ralenti. Pour
,
il semble arrêté.
3.4 Planéité des géodésiques
On peut démontrer que les géodésiques sont situées dans des plans passant par le centre de la masse.
En reprenant l'équation (8.1.6) ,
on en tire
et en reportant dans (8.1.7)
:
(8.3.1)
En multipliant les 2 membres de (8.3.1)par :
soit
(8.3.2)
En s'inspirant de la recherche des géodésiques d'une sphère
et en divisant le numérateur et le dénominateur par
,
comme
soit
(8.3.3)
dont la solution est ou
.
(le signe
est inclus dans le choix de la constante C).
En multipliant les 2 membres par et en posant
(8.3.4)
Considérons une sphère de rayon R centrée à l'origine, si on
multiplie les 2 membres de (8.3.4) par R on retrouve ,
c'est à dire un plan passant par le centre de la sphère.
En d'autres termes la relation (8.3.4) signifie que si les angles
sont liés par cette relation les point
s'intersection de la droite OM, joignant l'origine au point M de la géodésique
décrit un grand cercle d'une sphère centrée à l'origine. Cela permet d'affirmer
que la géodésique est située dans un plan passant par le centre de la masse.
Résumé
Périhélie de Mercure
L'utilisation de la métrique de Schwarzschild permet de retrouver comme approximation la mécanique de Newton.
Si ,
les équations différentielles reliant le rayon
et l'angle
dans le plan de l'orbite de la planète
sont :
Newton :
Relativité
générale :
sont des constantes. Le second terme du second
membre est en général négligeable devant le premier. Pour la Terre le rapport
est de l'ordre de
.
Appliqué à l'orbite de
Mercure, le calcul montre une précession du périhélie par siècle, en très bon accord avec les observations.
Déflexion de la lumière
Au passage à une distance du centre d'une masse M la métrique de
Schwarzschild calcule une déflexion d'un rayon lumineux
Cette valeur est exactement le double que celle qui est calculé en utilisant la mécanique de Newton et en considérant que la lumière est constituée de "grains".
Appliquée à un rayon lumineux passant au voisinage du soleil la déflexion calculé en utilisant la mécanique générale est
Cette valeur est en très bon accord avec la valeur mesurée par Eddington pendant l'éclipse de soleil de 1919.
Les résultats des calculs de la précession du périhélie de Mercure et de la déflexion d'un rayon lumineux passant près du soleil ont constitué 2 tests importants de la validité de la relativité générale.