Théorème de Morley

1. Enoncé

Dans un triangle ABC, les trisectrices des angles aux sommets se coupent pour former un nouveau triangle A'B'C'.

Ce triangle est équilatéral.

 

 

 

 

 

 

2. Une démonstration géométrique

2.1. Données

Les angles aux sommets du triangle ABC sont  et les longueurs des côtés .  est le rayon de son cercle circonscrit.

Les longueurs des côtés du triangle A'B'C' sont .

2.2. Calcul du côté a'

Dans le triangle ABC', dont les angles valent  

                                                                               (1.1)

Comme ,  

On sait que dans le triangle ABC

                                           

et donc . Ce qui donne

                                                                                                               (1.2)

 peut s'écrire

            

Comme , et que  

Le produit  Et

                                                                                  (1.3)

En reportant cette valeur dans (1.2) il reste

                                                                                     (1.4)

On calculerait de même

                                                                                          (1.5)

Dans le triangle AB'C'

                                         

Soit :

  (1.6)

La somme des angles .

Comme , . Ces 3 angles peuvent être les angles au sommet d'un triangle A"B"C" inscrit dans un cercle de centre O et de rayon R" :

Dans ce triangle :

,  

,  étant le milieu du côté B"C".

On a également :
.

En remplaçant par les valeurs calculées des côtés :

 

C'est à dire :

                      (1.7)

En reportant cette valeur de  dans (1.6), on obtient :

                                                                                     (1.8)

Cette expression est symétrique en . On obtiendra donc :

                                        

Le triangle A'B'C' est équilatéral.